3.4 Inducción matemática

El método deductivo, muy usado en matemática, obedece a la siguiente idea: “

A partir de un cierto conjuntos de axiomas aceptados sin demostraci´on y de reglas

l´ogicas no contradictorias, se deducen otros enunciados llamados teoremas combinando

los axiomas y respetando en cada etapa las reglas lógicas”.

Otro método para demostrar resultados generales que dependen en algún sentido

de los numeros ´ naturales es conocido con el nombre de Inducción Matemática .

Esta dependencia de los números naturales significa: se sabe que una determinada afirmación es verdadera para algunos casos particulares y surge la pregunta. ¿ Dicha afirmación sigue siendo verdadera para los infinitos números ´ naturales restante ?.

Existen muchas afirmaciones que solo son validas para un numero finito de casos

y en consecuencia son falsas para un numero infinitos de situaciones. Sin embargo,podemos encontrar proposiciones (afirmaciones) que son verdaderas solo a partir de un cierto numero natural no, de ser así, la técnica que se desarrollaremos se llama

Inducción Incompleta. Para demostrar que una proposición p(n) , ∀n ∈ M ⊆ N,

Es verdadera es necesario comprobar la validez de ella para todos los elementos del

conjunto M. En el caso en que M= N, diremos que es una Inducción Completa.

Si se requiere demostrar la falsedad de una cierta proposición p(n), ∀n ∈ M ⊆ N,

es suficiente indicar un elemento particular m ∈ M de manera que p(m) sea falsa.

( Construccion de un contra ejemplo).

Ejemplo 1. ∀n ∈ N, n

2 − 3n − 1 < 0

Es facil probar que esta desigualdad es verdadera para n = 1, 2, 3. Sin embargo,

para n = 4 no se cumple ya que 4

2 − 3 · 4 − 1 = 3 > 0. Notese que este ejemplo sencillo muestra que una proposición puede ser verdadera para los primeros números

naturales, sin embargo, es falsa , para números naturales mas grandes.

http://esaez.mat.utfsm.cl/iii.pdf