5.3 Relaciones de equivalencia.

Suponga que se tiene un conjunto X de 10 pelotas, cada una de las cuales es roja, azul o verde. Si se dividen las pelotas en los conjuntos R, A y V de acuerdo con el color, la familia {R, A, V} es una partición de X. Una partición es útil para definir una relación. Si S es una partición de X, se puede definir x R y de modo que signifique que para algún conjunto S∈S, tanto x como y pertenecen a S. La relación obtenida se describe como “es del mismo color que…”. El siguiente teorema muestra que este tipo de relación siempre es reflexiva, simétrica y transitiva.

Sea S una partición de un conjunto X. Defina x R y de modo que signifique que para algún conjunto S en S, tanto x como y pertenecen a S. Entonces R es reflexiva, simétrica y transitiva.

Demostración: Sea x ∈ X. Por definición de partición, x pertenece a algún conjunto S∈S. Entonces, xRx y R es reflexiva. Suponga que xRy. Entonces ambas x y y pertenecen a algún conjunto S∈S. Como ambos y y x pertenecen a S, yRx y R son simétricas. Por último, suponga que xRy y yRz. Entonces ambos x y y pertenecen a algún conjunto S∈S y ambos y y z pertenecen a algún conjunto T∈S. Como y pertenece exactamente a un miembro de S, debemos tener S = T. Por lo tanto, ambas x y z están en S y xRz. Se ha demostrado que R es transitiva.

Para que esto último se entienda de una mejor forma, se da un ejemplo:

Considere la relación

R = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (5, 1), (5, 3), (5, 5)} 

En {1, 2, 3, 4, 5} la relación es reflexiva porque (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5) ∈ R. La relación es simétrica porque siempre que (x, y) está en R, (y, x) también está en R. Por último, la relación es transitiva porque siempre que (x, y) y (y, z) están en R, (x, z) también está en R. Como R es reflexiva, simétrica y transitiva, R es una relación de equivalencia en {1, 2, 3, 4, 5}.

Vídeo explicativo:https://www.youtube.com/watch?v=LdzE-EBEfNw