1.3 Operaciones básicas

OPERACIONES ARITMÉTICAS DE LOS DISTINTOS SISTEMAS.

Al igual que en el sistema decimal, también en otros sistemas de numeración, se pueden realizar operaciones aritméticas, tales como: suma, resta, multiplicación y división tomando como referencia la base del sistema dado.

SUMA BINARIA, OCTAL Y HEXADECIMAL.

En general, para realizar la suma se procede de la misma forma como se hace en el sistema decimal. 

Los dígitos mj=(aj+hj+cj-1) pertenecientes al resultado se forman sumando los dígitos de cada columna de los cosumandos, más el acarreo cj-1 que viene de la columna anterior. Cada unidad de acarreo tiene el mismo valor de la base del sistema, por ejemplo, en la suma binaria es dos, en octal ocho y en hexadecimal dieciséis. Por ejemplo, llevar 2 en hexadecimal significa que el acarreo es el doble de la base y vale exactamente 32; de este mismo modo, en binario equivale a 4 veces y 16 en octal. Los acarreos aparecen cuando las semisumas de las columnas superan la base del sistema numérico.

SUMA BINARIA: Las operaciones de suma binaria se realizan de la siguiente forma:

0	+	0	=	0
0	+	1	=	1
1	+	0	=	1
1	+	1	=	0	Llevo 1

Ejemplo: Dado los números binarios: W=1111100012; T=11011101012; Obtener W+T

0	1	1	1	1	1	0	0	0	0	1
0	1	1	0	1	1	1	0	1	0	1
1	1	1	0	1	0	1	0	1	1	0

SUMA OCTAL: Se debe restar o dividir la semisuma de cada columna, cuando la misma exceda la base del sistema, y colocar en la columna inmediata del lado izquierdo, el valor del acarreo tantas veces se haya superado la base del sistema. De esta misma forma cada unidad que se acarree equivale a ocho unidades de la columna anterior.

SUMA HEXADECIMAL: Se debe restar o dividir la semisuma de cada columna, cuando la misma exceda la base del sistema, y colocar en la columna inmediata del lado izquierdo, el valor del acarreo tantas veces se haya superado la base del sistema. Cada unidad que se acarree equivale a dieciséis unidades de la columna anterior.
MULTIPLICACIÓN BINARIA, OCTAL Y HEXADECIMAL.

La operación aritmética de multiplicar se realiza del mismo modo que en el sistema numérico decimal.

MULTIPLICACIÓN BINARIA:

Ej: Multiplicar A. 1110112 y B. 1112

			1	1	1	0	1	1
					x	1	1	1
			1	1	1	0	1	1
		1	1	1	0	1	1
	1	1	1	0	1	1
1	1	0	0	1	1	1	0	1

MULTIPLICACIÓN OCTAL:

Ej: Multiplicar A. 672348 y B. 168

		6	7	2	3	4
				x	1	6
	5	1	3	6	5	0
+	6	7	2	3	4
1	4	0	6	2	1	0

MULTIPLICACIÓN HEXADECIMAL:

Ej: Multiplicar A. 67D3416 y B. 1216

		6	7	D	3	4
				x	1	2
		C	F	A	6	8
+	6	7	D	3	4
	7	4	C	D	A	8

La operación aritmética de dividir se realiza del mismo modo que en el sistema numérico decimal.

DIVISIÓN OCTAL Y HEXADECIMAL: La división se efectúa del mismo modo que en el sistema decimal y se realiza directamente en la misma base del sistema octal o hexadecimal. Sin embargo, también se puede obtener previamente la conversión en binario y proceder, como en el caso anterior, a realizarla en binario; y después el resultado transformarlo de nuevo al sistema numérico original.

Leer más: http://www.monografias.com/trabajos32/sistemas-numericos/sistemas-numericos.shtml#ixzz3L2wCSXZ6

https://www.youtube.com/watch?v=z5AWCvzaBCk

https://www.youtube.com/watch?v=vSeBnAwQ2EM

https://www.youtube.com/watch?v=j7ajMe-VVW4

https://www.youtube.com/watch?v=rg0qVp4MoB0

https://www.youtube.com/watch?v=_qrNvRnyXe8

https://www.youtube.com/watch?v=lpkKjBg1Gpg

1.4 Algoritmos de Booth para la multiplicación y división en binario

ALGORITMO DE BOOTH 

El algoritmo de Booth es un método rápido y sencillo para obtener el producto de dos números binarios con signo en notación complemento a dos. 

Complemento a1 

Para obtener el complemento a uno del numero en binario solo consta en cambiar sus ceros por unos, y sus unos por ceros (complementar): (010010 -> ca1:101101) 

Complemento a2 

El complemento a dos de un número binario es el resultado de sumar 1 al complemento a uno de dicho número binario (NOTA: En el Ca1 sólo se complementa si el número es negativo): mi numero en decimal es 86 

Realizar una multiplicación con el algoritmo de Booth, resulta mucho más sencillo de implementar. Partimos del ejemplo de la multiplicación 6·2=12: 

1º Obtengo mis números (multiplicando y multiplicador) en binario con longitud de 8 bits 

2º asigno A= multiplicando, S= Complemento a2 de A, P= 8 bits en 0. Agrego 7 bits extras a la derecha de A y S, en P agrego el valor de multiplicador con longitud de 8 bits y un bit extra con valor 0. Como se indica a continuación: 

Como se puede ver en la imagen superior, partiendo de los números binarios de la multiplicación 6·2 (multiplicando y multiplicador) creamos tres nuevos números binarios del doble de tamaño (16 en el ejemplo): A, S y P. 

3o Partiendo del número P (producto) comenzamos a comparar los últimos 2 bits de la derecha, siguiendo los casos base del recuadro: 

0 0 No hacer nada 

0 1 P = P + A 

1 0 P = P + S 

1 1 No hacer nada 

Se realizará esta comparación 8 veces en este ejemplo (número de bits de los operandos) y al final de cada comparación, realizamos un desplazamiento de un bit hacia la derecha, manteniendo el último bit de la izquierda, y descartando el último bit del lado contrario. Si hacemos una traza paso a paso nos quedarían los siguientes resultados: 

Finalmente obtenemos el número en binario resultante (12 en este ejemplo), descartando el bit extra que hemos añadido al principio del procedimiento y que se encuentra en el extremo a la derecha. 

Leer mas en: https://sites.google.com/site/matematicasdiscretasevz/1-4-algoritmos-de-booth-para-la-multiplicacion-y-division-en-binario

1.5 Aplicación de los sistemas numéricos en la computación

Aplicación de los Sistemas Numéricos en la Computación

Existe una cantidad infinita de sistemas numéricos, sin embargo, para una computadora, únicamente existen 4, que son el Binario (con base 2), el octal (con base 8), el decimal (base 10) y hexadecimal (base 16). Detallaremos el uso de cada uno de ellos por la computadora. Comenzaremos por el Binario, por ser el sistema base de la computación y el único entendido de manera nativa por una computadora, es el sistema en el que está escrita toda instrucción, dato, etc. Está compuesto por dos únicos dígitos que 1 y 0 o como en realidad trabaja la computadora, “apagado” y “encendido” y se es como representa todos los datos con los que trabaja la computadora, desde sumas bajo nivel: el hardware. Estos dígitos son llamados bits. Para trabajar la computadora agrupa a los bits en grupos de ocho, a los cuales denomina byte y es esta la razón por la que es tan importante el sistema octal, sin embargo una computadora no puede trabajar con el sistema octal como tal, sino que utiliza su conversión en sistema binario, usando tres bits para cada digito octal. El sistema hexadecimal es empleado al indexar la memoria o al representar un byte debido a que al contener más dígitos es posible usar menos números para representar números más grandes, haciendo posible que un byte, conformado por8 bits o términos binarios, se represente con solo dos términos hexadecimales, lo que es un ahorro de información. Sin embargo, la computadora tampoco reconoce el sistema hexadecimal como tal y, al igual que el sistema octal, lo representa con términos binarios, empleando conjuntos de cuatro bits, para cada término hexadecimal. Sin embargo al presentar información al usuario es más factible presentar A9 que 10101001.Por último el sistema decimal únicamente se utiliza al interactuar con el usuario, debido a que un usuario común no está acostumbrado a tratar con diferentes sistemas numéricos.

Leer más en: http://es.scribd.com/doc/73538913/Aplicacion-de-los-Sistemas-Numericos-en-la-Computacion

2.1 Conjuntos

Características de los conjuntos 

¿Qué es un conjunto? 

Es la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados en el la mente o en la intuición, por lo tanto, estos objetos son bien determinados y diferenciados. 

Es la reunión, agrupación o colección de elementos bien definidos que tienen una propiedad en común, este fue inventado por 

Georg Cantor hace 100 años. Sus conceptos han penetrado y transformado todas las teorías formales y todas las ramas de la matemática y de la lógica. 

Como este es un concepto primario, el conjunto no puede definirse; sólo se puede dar una idea intuitiva de el. 

A pesar de su sencillez este concepto es la base de las Matemáticas actuales, ya que, entre otras cosas, sirve para la construcción de los números. Sirve además para estudiar las estructuras algebraicas, con las cuales se organizan ordenadamente todos los conocimientos matemáticos. 

Ejemplos: los alumnos de un colegio, los números impares, los meses del año, etc., siendo cada alumno del colegio, cada número impar, cada mes del año, respectivamente, elementos de cada uno de los correspondientes conjuntos. 

¿Qué es un elemento? 

Elemento es cada uno de los objetos por los cuales esta conformado un conjunto. 

Por ejemplo, par los ejemplos tomados anteriormente en el concepto de conjunto. Luis, Antonio, Paula, son los elementos del primer conjunto, por que ellos son alumnos de colegio. 1,3,5 son elementos del segundo conjunto porque son números impares. 

Este ejemplo gráfico nos muestra la agrupación llamado Alumnos de Colegio con sus elementos que serían: Luis, Antonio, Paula y Pánfilo 

¿Cuáles son las formas de determinar un conjunto? 

Un conjunto puede determinarse de dos formas: 

· Por extensión: escribiendo dentro de una llave los nombres de los elementos del conjunto. 

· Por comprensión: escribiendo dentro de una llave una propiedad característica de los elementos del conjunto y solamente de ellos. 

Ejemplo: El conjunto de los meses del año se nombra: 

Por extensión: {Enero, febrero, marzo, abril, mayo, junio, julio, agosto, septiembre, octubre, noviembre, diciembre} 

Por comprensión: {meses del año}, o bien, de esta otra forma: {x/x es un mes del año}, que se lee: conjunto de elementos x tales que x es un mes del año. 

Ejemplo: El conjunto dedos de la mano se nombra 

Por extensión: {Pulgar, Indice, Mayor, Anular, meñique} 

Por comprensión: {dedos de la mano}, o bien, de esta otra forma: {x/x es dedo de la mano}, que se lee: conjunto de elementos x tales que x es un dedo de la mano 

¿Qué es la relación de pertenencia? 

Es la relación que existe entre un elemento y un conjunto, así, un elemento pertenece al conjunto, y se representa de esta forma. 

Ejemplo, A = {x/x es dedo de la mano} 

B= índice, entonces 

Cuando un elemento no esta en el conjunto dicho elemento no pertenece al conjunto, y se representa de la siguiente manera 

https://sites.google.com/site/cursomatematicasdiscretas/2-1-caracteristicas-de-los-conjuntos

https://www.youtube.com/watch?v=Qsq439_I6fw

La palabra conjunto generalmente la asociamos con la idea de agrupar objetos, por ejemplo un conjunto de discos, de libros, de plantas de cultivo y en otras ocasiones en palabras como hato, rebaño, piara, parcelas, campesinado, familia, etc., es decir la palabra conjunto denota una colección de elementos claramente entre sí, que guardan alguna característica en común. Ya sean números, personas, figuras, ideas y conceptos.

En matemáticas el concepto de conjunto es considerado primitivo y ni se da una definición de este, sino que se trabaja con la notación de colección y agrupamiento de objetos, lo mismo puede decirse que se consideren primitivas las ideas de elemento y pertenencia.

La característica esencial de un conjunto es la de estar bien definido, es decir que dado un objeto particular, determinar si este pertenece o no al conjunto. Por ejemplo si se considera el conjunto de los números dígitos, sabemos que el 3 pertenece al conjunto, pero el 19 no. Por otro lado el conjunto de las bellas obras musicales no es un conjunto bien definido, puesto que diferentes personas puedan incluir distintas obras en el conjunto.

Los objetos que forman un conjunto son llamados miembros o elementos. Por ejemplo el conjunto de las letras de alfabeto; a, b, c, ..., x, y, z. que se puede escribir así:



{ a, b, c, ..., x, y, z}



Como se muestra el conjunto se escribe entre llaves ({}) , o separados por comas (,).



El detallar a todos los elementos de un conjunto entre las llaves, se denomina forma tabular, extensión o enumeración de los elementos.


Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos, por ejemplo:

El conjunto { a, b, c } también puede escribirse:

{ a, c, b }, { b, a, c }, { b, c, a }, { c, a, b }, { c, b, a }



En teoría de conjuntos se acostumbra no repetir a los elementos por ejemplo:

El conjunto { b, b, b, d, d } simplemente será { b, d }.






MEMBRESIA

Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas : A, B, C,... por ejemplo:

A={ a, c, b }

B={ primavera, verano, otoño, invierno }

El símbolo Î indicará que un elemento pertenece o es miembro de un conjunto. Por el contrario para indicar que un elemento no pertenece al conjunto de referencia, bastará cancelarlo con una raya inclinada /quedando el símbolo como Ï .

Ejemplo:

Sea B={ a, e, i, o, u }, a Î B y c Ï B


SUBCONJUNTO

Sean los conjuntos A={ 0, 1, 2, 3, 5, 8 } y B={ 1, 2, 5 }

En este caso decimos que B esta contenido en A, o que B es subconjunto de A. En general si A y B son dos conjuntos cualesquiera, decimos que B es un subconjunto de A si todo elemento de B lo es de A también.

Por lo tanto si B es un subconjunto de A se escribe B Ì A. Si B no es subconjunto de A se indicará con una diagonal Ë .

Note que Î se utiliza solo para elementos de un conjunto y Ì solo para conjuntos.






UNIVERSO O CONJUNTO UNIVERSAL

El conjunto que contiene a todos los elementos a los que se hace referencia recibe el nombre de conjunto Universal, este conjunto depende del problema que se estudia, se denota con la letra U y algunas veces con la letra S (espacio muestral).

Por ejemplo si solo queremos referirnos a los 5 primeros números naturales el conjunto queda:

U={ 1, 2, 3, 4, 5 }



Forma alternativa para indicar conjuntos de gran importancia:
Conjunto de números naturales (enteros mayores que cero) representados por la letra N donde

N={ 1, 2, 3, .... }
Conjunto de números enteros positivos y negativos representados por la letra Z donde

Z={..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }
Conjunto de números racionales (números que se representan como el cociente de dos números enteros {fracciones }). Estos números se representan por una Q
Conjunto de números irracionales (números que no puedan representarse como el cociente de dos números enteros) representados por la letra I.
Conjunto de los números reales que son los números racionales e irracionales es decir todos, representados por R.



Todos estos conjuntos tienen un número infinito de elementos, la forma de simbolizarlos por extensión o por enumeración es de gran utilidad cuando los conjuntos a los que se hace referencia tienen pocos elementos para poder trabajar con ellos se emplean la notación llamada comprehensión.

Por ejemplo, la denotar el conjunto de los números naturales menores que 60. Aquí U es el conjunto N y se tiene una propiedad que caracteriza a los elementos del conjunto: ser menores que 60.



Para indicar esta situación empleamos la simbología del álgebra de conjuntos:

{ x/x Î N ; x<60 }

En esta expresión se maneja un conjunto de x que pertenece a los números naturales (N) y además que los valores de x son menores que 60.



Ahora si se desea trabajar con conjuntos que manejen intervalos estos pueden ser representados por medio de una expresión algebraica; supongamos que se desea expresar los números enteros (Z) entre -20 y 30 el conjunto quedaría de la manera siguiente:

{ x/x Î Z ; -20 £ x £ 30 }



También se puede expresar el valor de un conjunto indicando la pertenencia o no pertenencia a uno diferente, por ejemplo

L={ 1, 3, 4, 6, 9 }

P={ x/x Î N ; X Ï L }

En el conjunto P se indica que los elementos x de un conjunto pertenecen a los números naturales y además x no pertenece al conjunto L.


DIAGRAMAS DE VENN


Los diagramas de Venn que de deben al filósofo inglés John Venn (1834-1883) sirven para encontrar relaciones entre conjuntos de manera gráfica mediante dibujos ó diagramas.

Vídeos: https://www.youtube.com/watch?v=BY2BxpOCgd0

https://www.youtube.com/watch?v=NzcyLx0U0jM

REFERENCIA: http://colposfesz.galeon.com/est501/conjunto/teoconj.htm

2.2 Operaciones con conjuntos

· 2. Operaciones entre conjuntos
unión
Para cada par de conjuntos A y B existe un conjunto unión de los dos, que se denota como AUB, el cual contiene todos los elementos de A y de B.
Se define asi: AUB={x ∈ U / x ∈ A v x ∈ B}
Ejemplo:
Si A={a,b,c} y B={b,c,d,e} entonces,
AUB={a,b,c,d,e}

· 3. Operaciones entre conjuntos
INTERSECCION
Los elementos comunes a A y B forman un conjunto denominado intersección de A y B, representado por A∩B.
Se define asi: A∩B={x ∈ U / x ∈ A ʌ x ∈ B}
Ejemplo:
Si A={a,b,c} y B={b,c,d,e} entonces,
A∩B={b,c}
· 4. Operaciones entre conjuntos
diferencia
Los elementos de un conjunto A que no se encuentran en otro conjunto B, forman otro conjunto llamado diferencia de A y B, representado por A-B.
Se define asi: A-B={x ∈ A /x ∉ B}
A - B
Ejemplo:
Si A={1,2,3,4,5,6} y B={2,4,8,9} entonces,
A-B= {1,3,5,6}

· 5. Operaciones entre conjuntos
complemento
El complemento de un conjunto A es el conjunto de todos los elementos que no pertenecen a A.
cA = cUA ; {x ∈ U /x ∉ A}
Ejemplo:
Si U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} y A={2,4,6} entonces,
c A= {1,3,5,7,8,9}
· 6. Operaciones entre conjuntos
Diferencia simetrica
La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B viene dada por los elementos que pertenecen a uno y sólo uno de los dos.
Se define así: A ∆ B= (A-B)U(B-A)
Ejemplo:
Si A={1,2,3,4,5,6} y B={4,5,6,7,8,9} entonces
A-B= {1,2,3} ; B-A={7,8,9}
A ∆ B={1,2,3,7,8,9}

Leer más en:http://es.slideshare.net/cesarhum10/operaciones-de-conjuntos
Vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=NzcyLx0U0jM