Una proposición compuesta es una frase que consta de uno o varios sujetos y de un predicado que afirma algo en torno a dichos sujetos.Los sujetos de una proposicon simple deben ser todos terminos singulares. El predicado debe contener un verbo que exprese la accion sobre lossujetos.En matematicas se usan ciertos simbolos para representar predicados de uso frecuente como: el simbolo “_”, como representante del predicado “es igual a “, y el simbolo “<” como sustituto de “es menor que”.
Las proposiciones compuestas son las siguientes:
1.-Disyunción
La conectiva ‘o’ disyunción tiene dos sentidos y a ellos se alude ya en el lenguaje ordinario cuando se distingue entre ‘o’ y ‘o’. Cada uno de dichos sentidos es expresado en la logica setencial mediante un signo propio.La conectiva ‘o’ corresponde a la llamada disyuncion inclusa es simbolizada por el signo ‘V’ insertado entre dos fórmulas.La disyunción de las proposiciones simples pVq que se lee: “p o q” es falsa si ambas proposiciones son falsas. El operador lógico disyuncion también se denomina OR y representa la suma lógica.Esta se puede describir mediante una tabla de verdad, una tabla de verdad de una proposición P formada por las proposiciones P1….,Pn donde V indica verdadero y F falso, de modo que para cada una de estas combinaciones se indica el valor de verdad de P.
p V q
se lee: ‘p o q’.La conectiva ‘o….o’ corresponde a la llamada disyuncion exclusiva y es simbolizada por el signo ‘≠’ insertado entre dos formulas.
P ≠ q
Se lee ‘o o q’.
Ejemplo:
Antonio se dedica a la natación o al alpinismo
Se entiende de las dos siguientes maneras:
1.- Antonio se dedica a la natación o al alpinismo ( o a ambos) (ejemplo de disyuncion inclusiva)
2.- Antonio se dedica a la natación al alpinismo ( pero no a ambos) (ejemplo de disyuncion exclusiva)
Toda disyunción afirma que es cierto lo que afirma por lo menos una de sus componentes esto se define en cuanto a su interpretación
2.-Conjunción
La conjuncion de dos proposiciones simples P^q ( que se lee: ” p y q”) es verdadera si ambas proposiciones son verdaderas. La conjuncion (^), es una conectiva logica que denomina el operador logico AND y representa el producto logico, y es una proposición de la forma Py Q donde estos son proposiciones cuales quiera.
La conectiva ‘y’ o conjuncion es simbolizada por el signo ‘.’ insertado entre dos formulas. Asi,
p .q
Se lee ‘ p y q’
Te mostramos unos ejemplos sencillos para comprender el estudio de la conjunción.
Antonio es mentiroso y Juan es mentiroso,
Se formula de modo mas idomatico escribiendo:
Antonio y Juan son mentirosos
Si p es la proposición: «1 es un número impar» y q es la proposición: «3 es un número primo», entonces p ^ q será la proposición: «1 es un número impar y 3 es un número primo». En donde se observa que p ^ q su valor de verdad es verdadero, pues tanto p: «1 es un número impar», como q: «3 es un número primo»,ambos son verdaderos.
Si p es la proposición: «París está en Francia» y q es la proposición: «2 es un número impar», entonces la proposición: p ^ q será «París está en Francia y 2 es un número impar», donde su valor de verdad es: falso, pues el valor de verdad de q: «París está en Francia» , es verdadero, pero el valor de q: «2 es un número impar» es falso.
3.-Negación
La negacion de p, denotada por ṗ, es la proposicion
no p
Las proposiciones pueden ser simples o compuestas.Para designarlas se emplean letras latinas minusculas: p, q, r, s, etc.Para negar una proposicion simple se emplea el simbolo ~ de tal forma que ~p ( se lee “no p”), y es tal, que si p es verdadera (1), ~p seria falsa (O), y viceversa.El operador negacion (~) tambien se denomina NOT por razones obvias ‘_’ prefijado a la letra setencial o al enunciado. Asi,
-p
se lee ‘no p’
Ejmplo:
No (Nehru es frances) Aqui sedice que la cenectiva designa ‘particula conectiva’. se usa el adjetivo sustantivo.
o bien seria:
No es el caso que Nehru sea frances Se observa que en el lenguaje logico ‘no’ antecede al enunciado, en el lenguaje ordinario (en español) sigue al sujeto
En una expresion mas idomatica a los dos ejemplos anteriores es:
Nehru no es frances.
La conectiva ‘no’ o negacion es la unica conectiva singular de las mentadas.
4.-Condicional
Si p y q son proposicionales, la proposicion compuesta de la siguiente forma:
si p entonces q
es una proposicion codicional y se denota
p–>q
Donde las componetes P,Q son proposiciones cuales quiera.La primera componete de una condicional es La proposicion p es la hipotesis ( o antecedente) y la segunda proposicion q es la conclusion (o consecuente).
EJEMPLO:
Si X es multiplo de A, entonces X es par
Nota: Procura poner el verbo en subjuntivo cuando una componente vaya precedida de “que”. En ( Q cada vez P), se hace salvedad de esta regla.
Cuando la hipotesis de una condicional es una conjuncion, suele repetirse la palabra “si” tantas veces como componentes tiene la hipotesis.
Ejemplo, en lugar de:
Si P y Q entonces R:
se escribe:
Si P y si Q entonces R.
Ejemplo de lo anterios es:
si la condicional es:
Si P entocnes Q.
reciproca es:
Si Q entonces P.
Contrapuesta es:
Si ~ Q entocnes ~p.
a cada condicional le asocian otras dos que juegan un papel importante: la reciproca y la contrapuesta de la condicional dada.
5.-Bicondicional
Una bicondicional es la conjuncion de una condicional y su reciproca.
Sus siete maneras diferentes de enunciar una misma condicional es:
1.- Si P entonces Q y, reciprocamente, Si Q entoncesP
2.-Si P entonces Q, y reciprocamente.
3.-Si p, y solo entonces, Q.
4.-P si Q, y solo entonces.
5.-P si Q, y solo si Q.
6.- P si, y solo si , Q.
7.- A fin de que P es necesario y eficiente que Q.
Si p y q son proposiciones, la proposicion compuesta
p si y solo si q
es una proposicion bicondicional y se denota
p <–> q.
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