3.1.3 Tablas de verdad

Tablas de verdad de las conectivas lógicas

Formalizar una proposición es sólo el primer paso. Ahora tenemos que analizar las fórmulas obtenidas en relación con su verdad o la falsedad. El valor de verdad de las proposiciones moleculares depende del valor de verdad de las proposiciones atómicas que la componen y de las conectivas lógicas. Una proposición atómica puede ser verdadera o falsa. Nosotros adoptaremos la convención de referirnos al valor de verdad "Verdadero" con el símbolo "1" y al valor de verdad "Falso" con el símbolo "0". Podemos expresar los posibles valores de verdad de una proposición atómica mediante la siguiente tabla:

p

P

1

0

Esta tabla significa que la proposición atómica "p" (que puede ser cualquier proposición atómica) puede ser verdadera (1) o falsa (2). En realidad no sabemos si es verdadera o falsa, porque eso depende de su significado, que desconocemos. Pero lo que sabemos con toda seguridad es que debe tener uno de esos valores de verdad.

La cosa se complica cuando pretendemos averiguar los posibles valores de verdad de una proposición molecular. En efecto, la proposición molecular

p A q

puede ser verdadera o falsa, pero su verdad o falsedad depende de la verdad o falsedad de p y de q. Así pues, si p es verdadera pero q es falsa, (p A q) será falsa, por ejemplo. A cada combinación de valores de verdad de p y de q, le corresponde un valor de verdad a la proposición compleja. Podemos expresar esto con la siguiente tabla de verdad de la conjunción:

p	q	p A q
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

Como vemos en la tabla, la fórmula (p A q) sólo es verdadera cuando p es verdadera y q es verdadera, siendo falsa en todos los demás casos. Podemos confeccionar una tabla semejante para todas las conectivas lógicas:

Tabla de verdad de la disyunción

p	q	p A q
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Como vemos, la disyunción sólo es falsa en caso de que sus dos términos lo sean, y es verdadera en todos los demás supuestos.

Tabla de verdad del condicional

p	q	p v q
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

La tabla de verdad del condicional siempre causa cierta inquietud y, de hecho, ha sido objeto de crítica por parte de muchos lógicos. Nosotros no entraremos en tales disquisiciones y nos conformaremos con comprenderla, lo que ya es bastante. Lo primero que observamos en la tabla del condicional es que sólo es falso en un caso: cuando el antecedente es verdadero y el consecuencia falso. En efecto, supongamos que a principio de curso un profesor dice a sus alumnos:

Si venís a clase entonces aprobaréis

Ahora supongamos que, al final de curso, un determinado alumno, tras asistir religiosamente a todas las clases, suspende. Diremos, en ese caso, que el profesor mintió al principio de curso pues la proposición "si venís a clase entonces aprobaréis" es manifiestamente falsa, pues un alumno ha ido a clase y no ha aprobado.

Lo que sorprende de la tabla de verdad del condicional no es esto, sino los casos que lo hacen verdadero. En el primer caso no parece haber problema, pues si el antecedente es verdadero y también lo es el consecuente, no hay razón para negar el condicional: se ha cumplido la condición y también se ha cumplido lo condicionado.

El segundo caso merece algo más de atención. En efecto, como vemos en la tabla, si el antecedente es falso pero el consecuente es verdadero, el condicional es verdadero. La razón de esto es que el consecuente de un condicional puede ser verdadero independientemente del antecedente. Si es verdad que si Pepito estudia entonces aprueba, eso no excluye que apruebe sin estudiar, pues aun en ese caso seguiría siendo verdad que si hubiera estudiado, aprobaría.

El tercer caso en el que el condicional es verdadero no carece tampoco de interés. Si tanto el antecedente como el consecuente son falsos, el condicional es verdadero. Hay que recordar que un condicional no está describiendo un hecho actualmente existente del mundo, sino que establece una condición y dice que, en el caso de que se cumpliera, ocurriría tal o cual cosa. Que el antecedente y el consecuente sean falsos no excluye que si el antecedente hubiera sido verdadero también lo hubiera sido el consecuente. Si yo no estudio y no apruebo, no por eso es falso que si estudio, entonces apruebo.

Tabla de verdad de la negación

Como hemos visto en apartados anteriores, la negación invierte el valor de verdad de la proposición negada, tal y como se establece en la siguiente tabla:

p	¬p
1	0
0	1

Es decir, que cuando p es verdadera, ¬p es falsa, y cuando p es falsa, ¬p es verdadera.

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