4.1-4.2 ÁLGEBRA BOOLEANA. Teoremas y postulados.

UN ÁLGEBRA DE BOOLE ES UN SISTEMA DE ELEMENTOS B={0,1} Y

LOS OPERADORES BINARIOS (·) y (+) y (’) DEFINIDOS DE LA

SIGUIENTE FORMA

A B A+B A·B A A’

0 0 0 0 0 1

0 1 1 0 1 0

1 0 1 0

1 1 1 1

OPERADOR + OPERADOR OR

OPERADOR · OPERADOR AND

OPERADOR ‘ OPERADOR NOT

QUE CUMPLEN LAS SIGUIENTES PROPIEDADES:

1.- PROPIEDAD CONMUTATIVA:

A + B = B + A

A · B = B · A

2. PROPIEDAD DISTRIBUTIVA:

A·(B+C) = A·B + A·C

A + B·C = (A+B)·(A+C)

3. ELEMENTOS NEUTROS DIFERENTES

A + 0 = A

A · 1 = A

4. SIEMPRE EXISTE EL COMPLEMENTO DE A, DENOMINADO A’

A + A’ = 1

A · A’ = 0

PRINCIPIO DE DUALIDAD: cualquier teorema o identidad algebraica

deducible de los postulados anteriores puede transformarse en un segundo

teorema o identidad válida sin mas que intercambiar (+) por (·) y 1 por 0.

CONSTANTE: cualquier elemento del conjunto B

VARIABLE: símbolo que representa un elemento arbitrario del álgebra, ya

sea constante o fórmula completa.
TEOREMAS DEL ÁLGEBRA DE BOOLE

TEOREMA 1: el elemento complemento A’ es único.

TEOREMA 2 (ELEMENTOS NULOS): para cada elemento de B se verifica:

A+1 = 1

A·0 = 0

TEOREMA 3: cada elemento identidad es el complemento del otro.

0’=1

1’=0

TEOREMA 4 (IDEMPOTENCIA): para cada elemento de B, se verifica:

A+A=A

A·A=A

TEOREMA 5 (INVOLUCIÓN): para cada elemento de B, se verifica:

(A’)’ = A

TEOREMA 6 (ABSORCIÓN): para cada par de elementos de B, se verifica:

A+A·B=A

A·(A+B)=A

TEOREMA 7: para cada par de elementos de B, se verifica:

A + A’·B = A + B

A · (A’ + B) = A · B

TEOREMA 8 (ASOCIATIVIDAD): cada uno de los operadores binarios (+) y

(·) cumple la propiedad asociativa:

A+(B+C) = (A+B)+C

A·(B·C) = (A·B)·C

LEYES DE DEMORGAN: para cada par de elementos de B, se verifica:

(A+B)’ = A’·B’

(A·B)’ = A’ + B’



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